Última Atualização 14/ 9/ 2012
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Numa das páginas mais antigas foi apresentado o Estudo
do Referencial Oblíquo e Ortogonal, aquele referencial oblíquo
é caracterizado pelo ângulo 90o<
<180o. maior do que 90o entre o primeiro e terceiro
eixo referencial.
Aqui se estuda a obtenção das coordenadas de um ponto
P num referencial ortogonal a partir das coordenadas do mesmo ponto P num
"referencial oblíquo em todos os ângulos", ROTA, no qual os
3 ângulos entre os eixos referenciais, ,
e são diferentes de
90o e diferentes entre si.
Para iniciar o estudo posiciona-se a origem do referenciail ortogonal
no mesmo ponto de origem do ROTA e o primeiro eixo do referencial ortogonal
coincide com o primeiro eixo do outro referencial, assim como o plano que
contém o primeiro e o segundo eixo do referencial ortogonal coincide
com o plano dos dois primeiros eixos do ROTA.
A tabela-1 apresenta detalhes da sequência de pranchas mostradas
na animação acima sobre o estudo das coordenadas Pu, Pv e
Pw do ponto P em referencial ortogonal obtidas a partir das coordenadas
PX, PY e PZ do mesmo ponto no ROTA. Todos os desenhos das pranchas são
projeções paralelas onde o número de 1 a 398 pode
ser observado no topo de cada prancha, respectivamente. Para tornar a observar
uma prancha é preciso recarregar a página.
Tabela-1. Detalhes do estudo das coordenadas do ponto P no "referencial oblíquo em todos os ângulos" e no referencial ortogonal.
Projeção paralela | Outra projeção paralela | Detalhes das projeções |
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Mostra o ponto P no ROTA definido pelo paralelepípedo
em vermelho e em azul no referencial ortogonal. As mesmas cores serão
utilizadas em todas as imagens, respectivamente. Ambos os referencias compartilham:
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Mostra o ponto P apenas no ROTA definido pelo paralelepípedo com as arestas em cinza encobertas. |
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Mostra os eixos referencias X, Y e Z no ROTA em preto,
assinalados na extremidade positiva de cada eixo e os parâmetros
das coordenadas PX, PY e PZ e dos ângulos: alfa abreviado
como al, localizado entre os eixos Z e Y, beta, abreviadobe,
entre eixos X e Z e gama, abreviado ga entre X e Y em verde.
Mostra as diagonais:
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Mostra o ponto P apenas no referencial ortogonal definido pelo paralelepípedo com as arestas em cinza encobertas. |
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Mostra os referenciais u, v e w em preto, assinalados na extremidade positiva de cada eixo ortogonal. Mostra também os parâmetros das coordenadas do ponto P: Pu, Pv e Pw em verde. |
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Mostra o ponto P nos dois referenciais antes das rotações. | |
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Mostra o alinhamento final após 387 etapas de rotação. Os pontos P, 7 e 11 estão alinhados sobre a mesma reta suporte perpendicular à tela do computador e o ponto P está superposto aos outros dois. Mostra a aresta vermelha horizontal 3_P no fundo da prancha que encobre parcialmente a aresta 13_P azul do referencial ortogonal. Mostra a aresta do referencial ortogonal 8_12, horizontal azul no topo da prancha que encobre também a aresta 2_4, vermelha do ROTA. |
A seguir aresenta-se a construção das equações
que definem as coordenadas do ponto P no referencial ortogonal a partir
das coordenadas do mesmo ponto P no ROTA. O método denominado "Trilateration",
descrito também na página da internet da Wikipedia, foi
utilizado até as equações [5] e [9], para obter as
coordenadas ortogonais do ponto 1, vide pranchas de 1 a 3 da animação.
Numa etapa posterior, a partir das coordenadas ortogonais do ponto 1 chega-se
às coordenadas ortogonais do ponto P, apresentadas nas equações
[15], [18] e [21]. Os desenhos das animações e o da figura-1
estão na mesma escala. A figura-1 (a) apresenta as 3 esferas do
procedimento "trilateration", centradas no plano comum que contém
os dois primeiros eixos do ROTA e os dois primeiros eixos do referencial
ortogonal. Observa-se na figura 1 (a) e (b) a aresta 0_2, de comprimento
PX. Esta aresta PX será denominada simplesmente
a
na dedução
das coordenadas do ponto P no referencial ortogonal apresentada
abaixo. Também o raio da esfera centrada em 0, com comprimento PZ
na figura-1 (a) e a aresta 0_1 desenhada na figura-1 (b) e (c)
será denominada
c. E e a aresta 0_6, de comprimento PY na
figura-1 (a) e figura-1 (c) será denominada
b. A projeção
paralela do ponto P no plano dos dois primeiros eixos do referencial ortogonal
, Puv é assinalada pela cruz em vermelho na figura-1 (a). A figura-1
(b) mostra como calcular o comprimento da diagonal f1 e a figura-1 (c)
ilustra o cálculo do comprimento da diagonal f2.
Figura-1. (a) = Desenho que ilustra o cálculo "trilateration"
em escala igual aos desenhos das pranchas animadas. (b) Desenho em escala
igual ao das pranchas animadas que ilusta o cálculo da diagonal
f1. (c) Desenho em escala igual ao das pranchas animadas que ilusta o cálculo
da diagonal f2, isto será encontrado em qualquer bom livro básico
de trigonometria.
Na seção abaixo apresenta-se a obtenção
das coordenadas do ponto P abreviadas como u, v e w
no referencial ortogonal a partir das coordenadas do mesmo ponto P no outro
referencial. A interseção das 3 esferas representadas na
figura-1 (a) será calculada até a equação [9],
para converter preliminarmente as coordenadas do ponto 1 do paralelepípedo
apresentado nas pranchas 3 e 8 para as coordenadas cartesianas do ponto
1 observado nas pranchas gráficas 5 e 10.
Utiliza-se a equação [1] da esfera centrada em 0 na figura-1
(a), lembrando que a coordenada PZ é representada pelo parâmetro
c:
c2 = x2 + y2 + z2 [1]
Utiliza-se a equação da próxima esfera, centrada em 2 na figura-1 (a).
( f1 )2 = ( x - a )2 + y2 + z2 [2]
Utiliza-se também a equação da esfera centrada no ponto 6 da figura-1 (a). As equações que definem i e j serão utlizadas mais adiante, em [11] e [12].
( f2 )2 = ( x - i )2 + ( y - j )2 + z2 [3]
A condição abaixo sempre será satisfeita no paralelepípedo definido pelo ponto P no ROTA.
( a - c ) < f1 < ( a + c ) [4]
obtenção de x, [1] - [2]:
x = ( c 2 - f12 + a2 ) / ( 2 * a ) [5]
A equação [5] fornece a primeira coordenada ortogonal do ponto 1 do paralelepípedo apresentado na prancha 5 e 10.
Após substituição de [5] em [1]:
( c )2 = {[c2 - f12 + a2 ]2 / 4a2 } + y2 + z2 [6]
Com o rearranjo de [1]:
y2 + z2 = c 2 - x2 [7]
substituição de [7] em [3] e após simplificar:
( f2 )2 =( i*2 ) - ( 2 * x * i ) + (2 * j) -( 2 * y * j ) + c2 [8]
após rearranjo para isolar y:
y = [ c2 - ( f2 )2 + i2 + j2 - ( 2 * x * i ) ] / ( 2 * j ) [9]
A equação [9] fornece a segunda coordenada ortogonal do ponto 1 do paralelepípedo estudado na prancha 5 e 10.
Para obter a primeira coordenada ortogonal u, do ponto P no referencial ortogonal :
u = a + i + x [10]
lembrar:
i = b * cos [11]
j = b * sen [12]
f1 = ( a2 + c2 - 2 * a * c*cos )0.5 [13]
f2 = (c2 + b2 - 2 * c * b*cos )0.5 [14]
substituição de [5] e [11] e [13] em [10] e rearranjo
para obter a coordenada u do ponto P no referencial ortogonal:
u = a + ( b * cos ) + ( c * cos ) [15] |
de [15] e [10] pode-se concluir:
x = c * cos [16]
Para calcular a segunda coordenada v:
v = j + y [17]
substituição de [9] e [11] e [12] e [14] e [16] em [17]
para obter a coordenada v do ponto P no referencial ortogonal:
v = ( b * sen ) + [ c * (cos - cos * cos ) / sen] [18] |
cálculo da coordenada w do ponto P no referencial ortogonal:
lembrar:
volume do paralelepípedo totalmente oblíquo, vide prancha 3, 8 e outras, favor notar que a=PX, b=PY e c=PZ:
volume = a * b * c * [1-cos2() - cos2() - cos2() + 2 * cos * cos * cos ]0.5 [19]
cálculo da área da base (ab) do paralelepípedo totalmente oblíquo:
lembrar: volume do paralelepípedo também é igual ao produto da área da base pela altura
área da base (ab) = a * b * sen [20]
a coordenada w procurada é a própria altura do
paralelepípedo totalmente oblíquo, obtida pela divisão
[19] / [20]:
w = { c * [1-cos2() - cos2() - cos2() + 2 * cos * cos * cos ]0.5 }/ sen [21] |
Este procedimento foi utilizado no aplicativo GIRA7B.
Exercício
Deduzir as coordenadas dos pontos 0, 1, 2, ...P, ... 7 e transferir estas coordenadas no ROTA para o aplicativo GIRA7B e identificar a projeção paralela do paralelepípedo vermelho existente na prancha 398. Apresentar os valores das coordenadas ortogonais do ponto P obtidas nas páginas azuis do aplicativo GIRA7B e escrever o que deve ser realizado para encontrar a projeção solicitada, em branco e preto. Concluir.
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Tabela de temas.
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Outro | Variado | A Grande Muralha da China e a Grande Rodovia do Amor |
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Assis, aciz, zica | ||
Estudo do referencial oblíquo e ortogonal | ||
Estudo do referencial totalmente oblíquo e do referencial ortogonal | ||
O Pai, o Céu, a Terra e nos | ||
Pequena história da teleeducação | ||
Regressão linear e estatística |